[数学小考] 2015.6.24

考了三道比较简单的数学题(题目来源网络)

傻牛的约数研究(divisor)

[Description]
傻牛最近在研究约数,它觉得这玩意很牛逼。
首先,对于一个数字 X 来说,设 F(X) 表示 X 的约数个数,可以先将 X 表达成为若干个质数的幂次
之积,即 X=p1k1*p2k2 *……*psks,然后 F(X)=(k1+1)*(k2+1)*……*(ks+1) 。傻牛觉得
这个碉堡了。有一天它想,我们是不是可以求出 F(1)+F(2)+F(3)+……+F(N) 的值呢?结果,它
晕掉了。


[Solution]
答案即为1~n所有数的约束的个数和。
当然可以利用分解质因数直接求,但是有更机智的方法。
枚举i=1 to n,n/i即为以i为因数的数的个数,所以答案即为 sigma(i=1~n) n/i;
代码8行.

#include<cstdio>
int main(){
    int n,ans=0;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) ans+=n/i;
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

傻牛的递推数列(sequence)

[Description]
傻牛最近钻研各类数学递推数列。尤其是斐波那契数列。
傻牛眼中的斐波那契数列是这样的, F1=1F2=1,然后 Fi+2=Fi+1 + Fi,逐项递推。
今天,傻牛发现,某些斐波那契项之间是成倍数关系的。例如第 4 F4=3 和第 8 F8=21
傻牛想知道,对于某一项 Fx,求所有满足 Fi Fx Fi 倍数的 i 的和是多少?

[Solution]
发现了斐波那契数列一个很神奇的性质,对于任意x>2,任意i<x的F[i]是F[x]的约数当且仅当i是x的约数。(可自行证明)
于是题目转化为,求x的约数和...注意特判
代码依然很简单

#include<cstdio>

const int maxn=1000000;
int ans[maxn+1];

int main(){
    int n;
    for(int i=3;i<=maxn;i++)
    for(int j=i;j<=maxn;j+=i) ans[j]+=i;
    while(~scanf("%d",&n)) printf("%d\n",ans[n]+3);
    return 0;

}

傻牛的数字游戏(Game)

[Description]
傻牛最近在玩一个数字游戏。
首先,规定一个神奇的数字 P,它就是 1000000007
这个游戏是这样的,首先给你一个无比巨大的数字(1000000006!)^1000000006,当然,这个
数字对 P 的模值为 1。然后,游戏可能给你以下两种操作之一,第一种操作就是将这个数乘以一个
数字 X,第二种操作就是将这个数字除以一个数字 X。要求输出每种操作过后这个数字对 P 的模值。
现在,傻牛的菊花痒了,要去上厕所了,你不得不帮他玩一盘。

[Solution]
乘法很容易做,就是当前模数*x再模p,除法就是乘上x的逆元再模p.


这里不再赘述代码


总结:学到的姿势
斐波那契数列神奇的性质
n约数个数的求法
n的约数和
1~n的约数和

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